parallax background
Σχέσεις μεταξύ των μαθητών.
14 Νοεμβρίου, 2016
Αδίδακτο κείμενο-Άσκηση
18 Νοεμβρίου, 2016

"Το παράδοξο του Ράσελ κατέρριψε τη δομή της Θεωρίας Συνόλων, διαγράφοντας επίσης την όποια ελπίδα θεμελίωσης των μαθηματικών σε όρους λογικής. "


Ο μαθηματικός του Εκπαιδευτικού Ομίλου "Πράξη & Πρόοδος", Γιώργος ΚαλαΙτζάκης, στο άρθρο του ασχολείται με το παράδοξο του Ράσελ. Ως γνωστόν, τα μαθηματικά είναι η επιστήμη που προσπαθεί να αποδείξει τα πάντα μέσα από τη λογική. Η λογική όμως ξεκινά από κοινά αποδεκτές «αλήθειες», κάτι που έρχεται σε αντίθεση με την ίδια τη φύση των μαθηματικών.

Ένας «πραγματιστής» μαθηματικός θα μπορούσε εύκολα να δεχτεί το γεγονός ότι η επιστήμη του ξεκινά από βασικές αρχές, χτισμένες από την κοινή λογική και όχι αποδεδειγμένες επιστημονικά. Αρχές από τις οποίες «γεννιέται» κάθε τι άλλο που συμπεριλαμβάνεται σε μια μαθηματική θεωρία. είναι όμως δυνατόν τα μαθηματικά, η επιστήμη της απόδειξης και της λογικής, να στηρίζονται σε κάτι το αναπόδεικτο;

Οι πιο ανήσυχοι μαθηματικοί, γύρω στα τέλη του 19ου αιώνα, ξεκίνησαν μια προσπάθεια να εξηγήσουν τα πάντα μέσω της λογικής, θέλοντας να ξεφύγουν από οποιαδήποτε παραδοχή. Κάπως έτσι δημιουργήθηκε ο κλάδος της Μαθηματικής Λογικής. Ακόμα και εκεί όμως, έπρεπε να οριστούν κάποια αξιώματα, ώστε να οικοδομηθεί η θεωρία.

Οι προβληματισμοί των μαθηματικών της εποχής δίχασαν την επιστημονική κοινότητα. Πολλοί μαθηματικοί θεώρησαν πλήρως ανούσιες τις προσπάθειες των συναδέλφων τους να φιλοσοφήσουν τα μαθηματικά. Την ίδια ώρα οι «στοχαστές» δεν έβλεπαν φως στο τούνελ της μαθηματικής λογικής. Κάθε προσπάθειά τους κατέληγε ανεπιτυχής. Όσο και να εμβάθυναν στη μαθηματική λογική, κατέληγαν σε πιο «λογικά» αξιώματα. Δε μπορούσαν όμως να απεξαρτηθούν από την ύπαρξή τους. Κάπου εκεί άρχισαν να γεννιούνται και τα πρώτα σφάλματα της λογικής. Ο άνθρωπος που δημιούργησε το πιο γνωστό λογικό «παράδοξο» ήταν ο Ράσελ. Ένας μαθηματικός που αφιέρωσε όλη του την επιστημονική καριέρα στην αναζήτηση της απόλυτης λογικής. Το παράδοξό του ήρθε να κατεδαφίσει τη Θεωρία Συνόλων, που είχε θεμελιωθεί πάνω στη Μαθηματική Λογική.

Το «παράδοξο του κουρέα» και η απόδειξη πως τα μαθηματικά είναι… αναπόδεικτα!

Η Θεωρία Συνόλων ξεκίνησε από τις ιδέες του Καντόρ και εξελίχθηκε από αρκετούς μαθηματικούς. Μια βασική ιδέα που θεμελίωνε τη θεωρία, ήταν πως κάθε προσδιορίσιμη συλλογή είναι ένα σύνολο. Κάθε σύνολο δηλαδή είναι μια ομάδα αντικειμένων που έχουν μια συγκεκριμένη ιδιότητα. Μια πρόταση που ακούγεται αρκετά προφανής.

Ο Ράσελ, μέσω ενός πολύ απλού και συνοπτικού παραδείγματος, ήρθε να αποδείξει πως αυτός ο ορισμός είναι εσφαλμένος.

Παράδοξο του Ράσελ

Ας υποθέσουμε ότι σε μια πόλη υπάρχει ένας μόνο κουρέας και ότι όλοι οι άνδρες της πόλης ξυρίζονται καθημερινά. Οι άνδρες χωρίζονται σε δύο κατηγορίες:

A. Αυτοί που ξυρίζονται μόνοι τους και

B. Αυτοί που ξυρίζονται στον κουρέα.

Για να μην υπάρχει πρόβλημα, ο κουρέας αποφασίζει να ακολουθεί τον παρακάτω κανόνα: «ο κουρέας ξυρίζει μόνο όσους πολίτες δε μπορούν να ξυριστούν μόνοι τους»

Το άμεσο ερώτημα που προκύπτει είναι αν ο κουρέας ξυρίζει τον εαυτό του. Η κατάσταση είναι αδιέξοδη γιατί:

• αν ο κουρέας δεν ξυρίζει τον εαυτό του, τότε δεν ανήκει στην κατηγορία Α, άρα ανήκει στη Β, άρα πρέπει να πάει στον κουρέα για ξύρισμα.

• Αν ο κουρέας ξυρίζεται μόνος του, ανήκει στην κατηγορία Α άρα δεν πρέπει να πηγαίνει στον κουρέα για ξύρισμα.

Σαν αποτέλεσμα του παραπάνω αδιέξοδου, ο κουρέας είναι ο μόνος κάτοικος της πόλης που είναι συνεχώς αξύριστος.

Το παράδοξο του Ράσελ κατέρριψε τη δομή της Θεωρίας Συνόλων, διαγράφοντας επίσης την όποια ελπίδα θεμελίωσης των μαθηματικών σε όρους λογικής.

Λίγα χρόνια αργότερα, ήρθε ένα θεώρημα για να βάλει τέλος στα όνειρα των μαθηματικών της λογικής, τραντάζοντας τον κόσμο της επιστήμης. Γνωστό ως το «πρώτο θεώρημα της μη πληρότητας».

Κάθε επιστημονική θεωρία περιέχει ορισμένες αλήθειες οι οποίες δε μπορούν να αποδειχθούν βάση της ίδιας της θεωρίας, ήταν το πρώτο αποδεδειγμένο θεώρημα του Γκέντελ που ουσιαστικά αποδεικνύει πως η ύπαρξη των αξιωμάτων είναι υποχρεωτική για τη θεμελίωση των θεωριών. Αν το εξετάσουμε λίγο πιο… φιλοσοφικά, το θεώρημα αυτό βάζει ένα φράγμα στη λογική. Εξηγεί πως οποιαδήποτε μαθηματική ανακάλυψη στηρίζεται σε αναπόδεικτες αλήθειες.

Η μη πληρότητα του Γκέντελ είναι ίσως το πιο σημαντικό «αντιεπιστημονικό» θεώρημα στην ιστορία της επιστήμης. Μια πρόταση που αποδεικνύει ότι η ύπαρξη κάθε μαθηματικής θεωρίας βασίζεται στην ίδια την ανθρώπινη διαίσθηση.

Η προσπάθεια των μαθηματικών να αποδείξουν πως η επιστήμη τους είναι από τις ρίζες της θεμελιωμένη, δεν είναι απόλυτα αποτυχημένη. Μπορεί λοιπόν τα μαθηματικά να ξεκινούν από κοινές αποδεκτές αλήθειες, αλλά τουλάχιστον οι μαθηματικοί κατάφεραν να αποδείξουν ακόμα και αυτό, ότι δηλαδή η επιστήμη μας είναι… αποδεδειγμένα αναπόδεικτη!

Σύντομο βιογραφικό:

Ο Μπέρτραντ Άρθουρ Γουίλιαμ Ράσελ (18 Μαΐου 1872 – 2 Φεβρουαρίου 1970) ήταν Άγγλος φιλόσοφος, μαθηματικός και ειρηνιστής. Γεννήθηκε στο Τρέλεκ του Μονμαουθσάιρ, καταγόμενος από αριστοκρατική οικογένεια. Ο αδερφός του Φρανκ τον εισήγαγε στις θεωρίες του μαθηματικού Ευκλείδη. Ξεκίνησε τις σπουδές του με υποτροφία στο πανεπιστήμιο του Κέιμπριτζ το 1890 στο κολλέγιο Τρίνιτι για να σπουδάσει μαθηματικά. Το 1893 τελείωσε και το 1902 παντρεύτηκε. Ξεκίνησε να δημοσιεύει έργα του το 1896. Ο Ράσελ ως συγγραφέας και άνθρωπος συνέχισε την οικογενειακή παράδοση στην πολιτική σκέψη και δράση, με αντιπολεμική δράση. Το 1950 κέρδισε το Νόμπελ λογοτεχνίας. Χαρακτηριστική της απέχθειας του προς κάθε είδους φανατισμό είναι η δήλωση του: “ Δεν θα πέθαινα ποτέ για τις ιδέες μου, γιατί μπορεί να έκανα λάθος.”

Πηγές:

thecuriosityofcat.blogspot.gr

dimitristsokakis.blogspot.gr

el.wikipedia.org

The following two tabs change content below.
Γιώργος Καλαϊτζάκης

Γιώργος Καλαϊτζάκης

Γιώργος Καλαϊτζάκης

Latest posts by Γιώργος Καλαϊτζάκης (see all)

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνση σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *

Αρέσει σε %d bloggers: