Λύση άσκησης Bolzano

by Katerina
in νέα // άρθρα
Hits: 698

Η λύση της άσκησης όπως δόθηκε από την μαθηματικό Σοφία Μπαριτάκη.

Θυμηθείτε την άσκηση, πατώντας στον παρακάτω σύνδεσμο:

Μαθαίνω (για) το Bolzano

 

Ενδεικτική Λύση:

Θεωρούμε την συνάρτηση: g(x)=f(x)-x. H g είναι ορισμένη και συνεχής στο διάστημα [1,3].

Έχουμε:  g(1)+g(2)+g(3)=f(1)-1+f(2)-2+f(3)-3=f(1)+f(2)+f(3)-6=0.

Aν g(1)=0 ή g(2)=0 ή g(3)=0 τότε η g άρα και δοσμένη εξίσωση έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο [1,3].

 

Έστω g(1)0, g(2)0 και g(3)0. Έτσι αφού g(1)+g(2)+g(3)=0 ένας τουλάχιστον από τους αριθμούς αυτούς είναι θετικός και ένας τουλάχιστον είναι αρνητικός. Συνεπώς δυο τουλάχιστον από τους αριθμούς αυτούς είναι ετερόσημοι. Έστω g(1)g(2)<0. Τότε σύμφωνα με το θεώρημα του Bolzano, η g, επομένως και η δοσμένη εξίσωση, έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο διάστημα (1,2) και επομένως στο [1,3]. Όμοια αν g(2)g(3)<0 ή g(1)g(3)<0.

 

Επιμέλεια Ανάρτησης:

 

Μπαριτάκη Σοφία